수식으로 표현 및 증명 가능한 전기 - 극좌표법과 복소수 표기법 기초
전기는 수학적으로 표현이 가능하다.
수학얘기만 들어도 머리에 쥐나 나는 분들이 있을것이며
필자또한 수학을 그리 잘하지는 못한다.
허나 전기를 해석할때에 수학이 필요하므로
설명을 이해할 정도만 집고 넘어가도록 하자.
아래 그림을 보자
영어 알파벳 S와 C, 그리고 T를
필기체로 쓸때의 모양과 순서를 그린 것이다.
이것을 먼저 보이는 이유는
지금부터 삼각함수를 설명하고자 하는데 이 스펠링의 쓰는
순서를 기억하면 아주 쉽게 외울수 있기 때문이다.
먼저 전기는
각 성분을 복소평면에 그려야 한다.
그 이유는 0 ~ 360도의 위상각을 반복적으로 나타내는
전기를 설명할 때
첫 0~360은 각도로 설명이 가능하나
그 후부터는 점점 각도가 커지면서도
같은 위상이기 때문에 표현을 정해둘 필요가 있는 것이다.
그래서 그 방법으로
각속도와 복소평면을 사용하는데
j는 복소수로서 제곱했을 때 –1 이 되는
가상의 숫자(허나 현실에서는 존재하는)를 뜻한다.
J는 90도 위상각이 앞서고
–J는 90도 위상각이 뒤진다고
바로 이해가능하기 때문에 복소평면에서 전기를 정의 가능하며 수월하다.
그림을 보자
1에 J를 곱하면 J,
즉 위상이 90도 앞서게 되고
거기에 J를 또 곱하면
J의제곱으로 –1,
다시 J를 곱하면 –J,
거기에 다시 J를 곱하면
–1의 마이너스 임으로 1이된다.
이렇기 때문에 복소평면을 사용하는 것이다.
자, 그림에 선분AB 가 있다.
이 선분을 숫자로 표기해서 누군가에게 알려주고자 할때 어떤 방법이 있을까?
하나는 B점의 위치를 알려주는 방법이 있다.
“좌측으로 4만큼 가고 j쪽으로 3만큼 가면 되요”
이렇게 알려줄수 있는데 그것을 수식으로 표현한다면
4+j3 이렇게 표기하게 되는 것이다.
복소수 J를 사용했을 때 이것을 복소수 표기라고 한다.
그럼 다른 한 방법은 뭘까?
그건 선분AB 의 길이와 이루고 있는 각도로 알려주는방법이다.
“ 몇 만큼 길이의 선분이 몇도의 각도로 기울어져 있어”
그러면 선분 AB의 길이는 어떻게 될까?
피타고라스 정리에 의해서
직각 삼각형의 긴변은 짧은 두변을 각각 제곱후 더해서 루트를 씌우면 알 수 있다.
이렇게 우리는 선분 AB의 거리를 피타고라스의 정리를 이용해 알았다.
그러면 각도는 어떻게 알수 있을까?
각도를 알수 있는 법은 여러 가지인데
그림의 삼각형에서는 4라는 밑변과 3이라는 높이를 알고 있다.
이제 삼각 함수를 이용하여 각도를 알아보자.
선분 AB와 실수측이 이루고 있는 삼각형에
필기체 S를 그림처럼 써보자.
긴변에서 시작 3에서 끝난다
즉
이 되고
같은 방법으로 C를 써보면
이 되며
t라는 스펠링을 따라 그리며 그 순서에 따라 분모와 분자를 대입하면
이 된다.
여기서 긴변의 길이를 우리는 이미 알지만
긴변의 길이를 구하기전 이미 tan 세타의 값을 알고 있으니
이를 이용하여 세타값을 구해보자
tan 세타 = 3/4 에서 tan 를 넘기면
이 된다.
삼각함수는 ‘ = ’ 를 넘어갈 때 –1승이 붙으며 이를 아크탄젠트라부른다.
싸인은 아크싸인, 코싸인은 아크 코싸인이다.
계산은 공업용 계산기를 이용하자.
그럼 이제 우리는
“길이 5의 선분이 36.87도 기울어져 있다”
라고 두 번째 표현을 할수 있게 되고
이를
이라고 표기하며
‘오 아르그 삼십육점 팔칠’ 이라고 읽으면 된다.
우리가 전압계로 전압측정시 보는 380V는
" 380 아르그 몇도 " 의 값을 가진것을보는 것이다.
즉 선분의 길이가 전압, 전류의 크기이고
아르그 뒤의 각은 위상이 된다.
복소표현은 덧뺌셈 할때 쓰고 극좌표는 곱셈 나눗셈 할때 쓴다.
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